LED模擬效率改善新方法：二維徑向簡化

        本文利用RSoft之FullWAVE與LEDs Utility仿真不同結構的發(fā)光二極管(Light EmittingDiodes, LEDs)之發(fā)光效率，并比較二維模擬與三維模擬的差異性與優(yōu)缺點。

        介紹

         發(fā)光二極管LED于50年前被發(fā)明時，并沒有廣泛應用于日常生活中。如今，藉由不斷地改良與推陳出新，LED已被推廣至許多常見應用上，其中更以固態(tài)照明和顯示器市場最為重要。然而，即使LED在日常生活中有著無遠弗屆的影響力，它還是存在著一些限制與缺點。其中最值得注意的就是LED在二極管基板發(fā)出的光源很不容易被萃取至外界，也就是LED有著不高的光萃取率(Light Extraction Efficiency)。為克服這缺點，學界與業(yè)界正嘗試著模擬并制作不同的表面結構來增進其光萃取率。然而，因三維結構(3D)在計算上是繁復且耗時的模擬過程，因此，新一代的二維模擬(2D)方法被用來測試立體結構的初步結果，以節(jié)省計算器資源并加速研發(fā)測試過程。

         造成LED低萃取率的主要原因為：從二極管基板產(chǎn)生的光在穿透外層接口時，因全反射的發(fā)生而無法全數(shù)通過該接口，造成低穿透的現(xiàn)象。全反射發(fā)生的原因為基板之折射率(n)與外界折射率差異甚大，造成光接觸接口時，臨界角內(nèi)之光源被反射回基板，剩下少部分的光才得以穿透至外界。以理論值計算時，LED光萃取率限制最高為n2/4。以砷化鎵LED為例，其萃取率被限制低于2%；以氮化鎵LED為例，其萃取率被限制低于4%。

         為了突破這限制，不同的表面結構被研究于改善LED的光萃取率。舉例來說，來自LG Innotek的S. David Roh在2012年的ACP研討會上發(fā)表數(shù)百種表面結構對萃取率之影響的研究結果。即使大部分的研究者為了減少實際制程的花費，使用仿真軟件測試LED的表面結構設計，但并非全部的研究者皆使用仿真軟件來進行設計。原因也許是因為LED在模擬部分是屬于非常復雜的計算，而使用者還沒有找到適合且方便的軟件來輔助其計算。

        其復雜的原因在于LED光源是一個在時間與空間上非同調(diào)性的光源，且沒有特定偏振方向。為處理這種非同調(diào)性與非特定偏振的光源問題，時域有限差分法(Finite-Difference Time-Domain, FDTD)被用來計算每個點、每個波長與每個偏振的電磁場，并將其迭合處理成與實際光源相似之電磁場。為了處理這種復雜的光源計算，RSoft在其模擬套件FullWAVE上開發(fā)了一套LED Utility，提供使用者一個方便、快速且準確的模擬環(huán)境來進行LED的結構設計。

        然而，完整的三維模擬在計算上需耗費許多時間與內(nèi)存。舉例來說，利用多核心計算器來模擬一個典型的LED結構，估計需耗費數(shù)千兆位的內(nèi)存與數(shù)小時的時間。除此之外，若研究者須針對不同波長、偏振與結構設計進行優(yōu)化處理，則至少需要花費數(shù)天的時間來模擬。

        為了提高模擬效率和減少模擬成本，本篇文章介紹一個在2012年ACP會議上發(fā)表的簡單作法：相較于傳統(tǒng)的三維模擬，我們假設多數(shù)LED有圓對稱性(circularly symmetry)，因此可以利用二維模擬來進行不同設計的成果檢測，估計可以減少數(shù)千至數(shù)百倍的模擬時間。

        模擬步驟簡介

        在此介紹中，我們先介紹典型的三維模擬步驟，再進而介紹簡化版的二維模擬方法。在LED的激發(fā)過程中，光子因每個不同的電子電洞對的結合而產(chǎn)生，在相位、同調(diào)性與偏振上皆沒有一定的規(guī)則。因此，LED產(chǎn)生的光源是空間時間非同調(diào)且非特定方向偏振的光源。在FDTD模擬中，利用Monte Carlo方法來設計非同調(diào)性的電磁場是普遍的作法，但卻所費不貲。原因是在偶極矩上的相位變化速度遠慢于電磁場之周期，因此需要長時間的模擬才能達成。另一個更好的方法則是結合許多不同的偶極矩來創(chuàng)造一個非特定偏振且非同調(diào)性的電磁場。

        所謂的「非特定方向偏振」電磁場指的是電磁場「均勻地」向四面八方偏振。為了創(chuàng)造出這樣的電磁場光源，必須將三個互相垂直的偏振方向迭加在同一個空間，如圖1。
 

         從圖1上可以清楚看出在模擬每個點光源時，三種不同偏振方向的偶極矩都需要加入運算，以達到其非特定偏振的光源特性。然而，對某些LED來說，光子并不會往每個方向上輻射。以氮化鎵LED為例，在晶軸方向上就不會有光子輻射出去，因此在模擬上只需要兩種偏振方向的偶極矩即足夠。

          在另外一方面，每個LED所產(chǎn)生的光子在相位上都各自獨立，因此若要各別模擬的話則需要大量時間。但若是在每個偶極矩上以固定的相位差去做模擬，則無法造成在空間上非同調(diào)性的電磁光源。因此，在模擬多偶極矩的過程中，每個偶極矩皆需各別模擬，以達到非同調(diào)性的特性。

         在時間同調(diào)性方面，通常會使用同調(diào)長度(coherent length)來決定其同調(diào)性。LED光源在頻譜上有著比雷射還要廣的帶寬，而在萃取率與輻射圖案上，如圖2所示，更有著頻率的相關性。圖2仿真著不同頻率的LED光源之輸出光場的不同。
 

        萃取率R跟遠場的輻射函數(shù)ψ(θ,φ)可以藉由取得每個波長相關的萃取率與輻射函數(shù)后，將LED頻譜加權平均而得之，如方程式(一)所示：

        其中的N代表取點總數(shù)，而平均結果如圖3所示。

         如前述所提，對LED進行完整的FDTD模擬需要耗費許多計算資源，特別是在為了提升光萃取率，而針對不同的表面結構設計所做的仿真。圖4即是平面(Flat)與結構(patterned)的LED針對光萃取率的比較曲線。在結構LED上，常利用光柵式結構將光導出二極管基板，提高光萃取率。從圖中可看出，平面結構LED只需比較少的計算空間(domain)即可算出萃取率，而結構式LED則需較大的計算空間，意即需要更多的計算資源才能算出正確的光萃取率。

         因此，為節(jié)省模擬時間與提高效率，一個可以簡化模擬過程的近似被開發(fā)出來。這個簡化的近似就是二維(2D)模擬。這種將三維模擬簡化至二維的近似適用于許多光學模型，而其中以LED這種具有圓對稱性的模型更為適合。

         然而，如圖5所示，一般的二維簡化完全地改變了整個模型。該模擬中將一個常用于改進光萃取率的光子晶體結構，簡化成一維的光柵結構。更重要的是，它將點光源轉換成線光源。最后，該簡化造成二維模擬與三維模擬有很不一樣的結果。
 

         有鑒于此，二維模擬的簡化需要建筑在「徑向簡化」上。常被使用的光子晶體表面結構，不論是六角柱或是晶格排列，都可視為圓狀的布拉格光柵。布拉格光柵會在平面方向上產(chǎn)生一個能隙，迫使電磁場往外傳遞，提高光萃取率。因此，二維的徑向簡化模擬與實際問題較為符合，如圖6所示。

         為了確認該簡化假設是否能成立，三種不同的模擬方法被測試于平面結構LED之萃取率曲線。分別為：二維線坐標簡化、二維徑向簡化與三維模擬。如圖7所示，二維徑向(2D Radial)的結果與三維(3D)模擬結果吻合，而二維線坐標(2D)則如前述，與實際三維結果相差甚大。

        同樣的測試也用在具有表面結構的LED模型上，結果如圖8所示。二維徑向假設與實際的三維模擬結果相去不遠，而二維線坐標假設則與另外兩種差異不小，再次證明二維徑向簡化之可行性。

        LED光萃取率的模擬在經(jīng)過二維徑向簡化后，其所需之計算資源大幅度減少。通常三維模擬需要幾天的時間，在簡化后只需要幾分鐘的模擬時間，并且占據(jù)更少的內(nèi)存。

          本文介紹一種模擬LED非同調(diào)性與非特定偏振光源的常用偶極矩設計。另外，為了增加模擬的效率與節(jié)省模擬資源，經(jīng)過二維徑向簡化后的模擬可以得到與三維模擬接近的結果，但卻可以節(jié)省數(shù)百倍的運算時間。利用RSoft FullWAVE和LED Utility，LED工程師可快速的將新的表面結構設計利用平面仿真方法測試其光萃取率之提升。但即使二維徑向簡化是一個很有效率的簡化，還是無法完全取代三維模擬。因此，LED工程師在使用二維徑向簡化模擬后，可使用RSoft LED Utility來進行最后三維結構仿真的測試，以確保其正確性。